Resolver 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -14 balioa b balioarekin, eta -14 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Egin -14 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Gehitu 196 eta 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Atera 700 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

-14 zenbakiaren aurkakoa 14 da.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 14 eta 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Zatitu 14+10\sqrt{7} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 10\sqrt{7} ken 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Zatitu 14-10\sqrt{7} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Gehitu 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

-14 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Egin -14 ken 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Zatitu -\frac{14}{9} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{9} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{9} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{9} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Gehitu \frac{14}{9} eta \frac{49}{81} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Atera x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Gehitu \frac{7}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$