Resolver 9x^2+5x-4=0

$$9 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 9x^{2}+ax+bx-4 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=5 ab=9\left(-4\right)=-36$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -36 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-4 b=9$$

Berridatzi 9x^{2}+5x-4 honela: \left(9x^{2}-4x\right)+\left(9x-4\right).

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(9x-4\right)$$

Deskonposatu x 9x^{2}-4x taldean.

$$x\left(9x-4\right)+9x-4$$

Deskonposatu 9x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(9x-4\right)\left(x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 9x-4=0 eta x+1=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}+5x-4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta -4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 9}$$

Gehitu 25 eta 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 9}$$

Atera 169 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{-5±13}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±13}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta 13.

$$x=\frac{8}{18}$$

Murriztu \frac{8}{18} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{4}{9}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±13}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 13 ken -5.

$$x=-\frac{18}{18}$$

Zatitu -18 balioa 18 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}+5x-4=0$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Egin -4 ken 0.

$$9x^{2}+5x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}+5x}{9}=\frac{4}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{4}{9}$$

Zatitu \frac{5}{9} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{18} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{18} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{18} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

Gehitu \frac{4}{9} eta \frac{25}{324} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{169}{324}$$

Atera x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{169}{324}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{324}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{13}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{13}{18}$$

Egin ken \frac{5}{18} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{4}{9} x=-1$$