Resolver 9x^2+42x+49=0

$$9 x ^ { 2 } + 42 x + 49 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 9x^{2}+ax+bx+49 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=42 ab=9\times 49=441$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 441 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

42 batura duen parea da soluzioa.

$$a=21 b=21$$

Berridatzi 9x^{2}+42x+49 honela: \left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 7 bigarren taldean.

$$3x\left(3x+7\right)+7\left(3x+7\right)$$

Deskonposatu 3x+7 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 3x+7=0.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, 42 balioa b balioarekin, eta 49 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Egin 42 ber bi.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 49.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

Gehitu 1764 eta -1764.

$$x=\frac{-42±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{42}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Murriztu \frac{-42}{18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Egin ken 49 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}+42x+49-49=-49$$

49 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}+42x=-49$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=-\frac{49}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=-\frac{49}{9}$$

Murriztu \frac{42}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=-\frac{49}{9}$$

Zatitu \frac{14}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{49}{9}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{-49+49}{9}$$

Gehitu -\frac{49}{9} eta \frac{49}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=0$$

Atera x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{3}=0 x+\frac{7}{3}=0$$

Egin ken \frac{7}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{7}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=-\frac{7}{3}$$