Resolver 9x^2+30x+25=0

$$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 9x^{2}+ax+bx+25 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=30 ab=9\times 25=225$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 225 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

30 batura duen parea da soluzioa.

$$a=15 b=15$$

Berridatzi 9x^{2}+30x+25 honela: \left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$3x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Deskonposatu 3x+5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(3x+5\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 3x+5=0.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, 30 balioa b balioarekin, eta 25 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Egin 30 ber bi.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Gehitu 900 eta -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{30}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Murriztu \frac{-30}{18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Egin ken 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}+30x+25-25=-25$$

25 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}+30x=-25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{25}{9}$$

Murriztu \frac{30}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Zatitu \frac{10}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Gehitu -\frac{25}{9} eta \frac{25}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Atera x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{3}=0 x+\frac{5}{3}=0$$

Egin ken \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{5}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=-\frac{5}{3}$$