Resolver 9x^2+3x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}\approx -0.166666667+0.986013297i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}\approx -0.166666667-0.986013297i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta 9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 9}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-324}}{2\times 9}$$

Gehitu 9 eta -324.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-315}}{2\times 9}$$

Atera -315 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta 3i\sqrt{35}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{35}i}{18}$$

Zatitu -3+3i\sqrt{35} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 3i\sqrt{35} ken -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{35}i-3}{18}$$

Zatitu -3-3i\sqrt{35} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}+3x+9-9=-9$$

9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}+3x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=-\frac{9}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Murriztu \frac{3}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Zatitu -9 balioa 9 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-1$$

Zatitu \frac{1}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{6} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{6} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{6} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-1+\frac{1}{36}$$

Gehitu -1 eta \frac{1}{36}.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{35}{36}$$

Atera x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{35}{36}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{36}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{35}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{35}i}{6}$$

Egin ken \frac{1}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$