Resolver 9x^2+12x-24=0

$$9 x ^ { 2 } + 12 x - 24 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} - 2}{3} \approx 1.097167541$$

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}\approx -2.430500874$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}+12x-24=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, 12 balioa b balioarekin, eta -24 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Egin 12 ber bi.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider -24.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+864}}{2\times 9}$$

Gehitu 144 eta 864.

$$x=\frac{-12±\sqrt{1008}}{2\times 9}$$

Atera 1008 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -12 eta 12\sqrt{7}.

$$x=\frac{12\sqrt{7}-12}{18}$$

Zatitu -12+12\sqrt{7} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-12±12\sqrt{7}}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 12\sqrt{7} ken -12.

$$x=\frac{-12\sqrt{7}-12}{18}$$

Zatitu -12-12\sqrt{7} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}+12x-24=0$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}+12x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

-24 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}+12x=-\left(-24\right)$$

Egin -24 ken 0.

$$9x^{2}+12x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{24}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{24}{9}$$

Murriztu \frac{12}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{24}{9}$$

Murriztu \frac{24}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}$$

Zatitu \frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

Gehitu \frac{8}{3} eta \frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{28}{9}$$

Atera x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Egin ken \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$