Resolver 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

Ebatzi: t

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 9t^{2}+at+bt+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 9 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,9 3,3$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+9=10 3+3=6$$

6 batura duen parea da soluzioa.

$$a=3 b=3$$

Berridatzi 9t^{2}+6t+1 honela: \left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

Deskonposatu 3t 9t^{2}+3t taldean.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

Deskonposatu 3t+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, 6 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Egin 6 ber bi.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Gehitu 36 eta -36.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

Murriztu \frac{-6}{18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9t^{2}+6t=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

Murriztu \frac{6}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

Zatitu \frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Gehitu -\frac{1}{9} eta \frac{1}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

Atera t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

Egin ken \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$t=-\frac{1}{3}$$