Resolver 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Ebatzi: n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 3n^{2} bi aldeetatik.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} lortzeko, konbinatu 9n^{2} eta -3n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6n^{2}+an+bn+20 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 120 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

-23 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=-8$$

Berridatzi 6n^{2}-23n+20 honela: \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Deskonposatu 3n lehen taldean, eta -4 bigarren taldean.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Deskonposatu 2n-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2n-5=0 eta 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Kendu 3n^{2} bi aldeetatik.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} lortzeko, konbinatu 9n^{2} eta -3n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, -23 balioa b balioarekin, eta 20 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Egin -23 ber bi.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Gehitu 529 eta -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 zenbakiaren aurkakoa 23 da.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Orain, ebatzi n=\frac{23±7}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 23 eta 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Murriztu \frac{30}{12} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$n=\frac{5}{2}$$

Orain, ebatzi n=\frac{23±7}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Murriztu \frac{16}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$n=\frac{4}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Kendu 3n^{2} bi aldeetatik.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2} lortzeko, konbinatu 9n^{2} eta -3n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Kendu 20 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Murriztu \frac{-20}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Zatitu -\frac{23}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{23}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{23}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Egin -\frac{23}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Gehitu -\frac{10}{3} eta \frac{529}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Atera n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Gehitu \frac{23}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$