Resolver 9a^2-10a+4=0

$$9 a ^ { 2 } - 10 a + 4 = 0$$

Ebatzi: a

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}\approx 0.555555556+0.368513866i$$

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}\approx 0.555555556-0.368513866i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -10 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -10 ber bi.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36\times 4}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 4.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 9}$$

Gehitu 100 eta -144.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 9}$$

Atera -44 balioaren erro karratua.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

-10 zenbakiaren aurkakoa 10 da.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18}$$

Orain, ebatzi a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 10 eta 2i\sqrt{11}.

$$a=\frac{10+2\sqrt{11}i}{18}$$

Zatitu 10+2i\sqrt{11} balioa 18 balioarekin.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9}$$

Orain, ebatzi a=\frac{10±2\sqrt{11}i}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{11} ken 10.

$$a=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{18}$$

Zatitu 10-2i\sqrt{11} balioa 18 balioarekin.

$$a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9a^{2}-10a+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9a^{2}-10a+4-4=-4$$

4 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9a^{2}-10a=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9a^{2}-10a}{9}=-\frac{4}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a=-\frac{4}{9}$$

Zatitu -\frac{10}{9} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{9} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{9} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{9} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{81}$$

Gehitu -\frac{4}{9} eta \frac{25}{81} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81}=-\frac{11}{81}$$

Atera a^{2}-\frac{10}{9}a+\frac{25}{81} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{11}{81}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{81}}$$

Sinplifikatu.

$$a-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{11}i}{9} a-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{11}i}{9}$$

Gehitu \frac{5}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=\frac{5+\sqrt{11}i}{9} a=\frac{-\sqrt{11}i+5}{9}$$