Resolver 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 9x^{2}+ax+bx+25 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 225 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

-30 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-15 b=-15$$

Berridatzi 9x^{2}-30x+25 honela: \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta -5 bigarren taldean.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Deskonposatu 3x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -30 balioa b balioarekin, eta 25 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Egin -30 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Gehitu 900 eta -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

-30 zenbakiaren aurkakoa 30 da.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Murriztu \frac{30}{18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Egin ken 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

25 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Murriztu \frac{-30}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Zatitu -\frac{10}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Gehitu -\frac{25}{9} eta \frac{25}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Atera x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Gehitu \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=\frac{5}{3}$$