Resolver 9x^2-24x+21=0

$$9 { x }^{ 2 } -24x+21=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{5}i}{3}\approx 1.333333333+0.745355992i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+4}{3}\approx 1.333333333-0.745355992i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}-24x+21=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -24 balioa b balioarekin, eta 21 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

Egin -24 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 21}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 21.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-756}}{2\times 9}$$

Gehitu 576 eta -756.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-180}}{2\times 9}$$

Atera -180 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

-24 zenbakiaren aurkakoa 24 da.

$$x=\frac{24±6\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{24±6\sqrt{5}i}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{24±6\sqrt{5}i}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 24 eta 6i\sqrt{5}.

$$x=\frac{24+6\sqrt{5}i}{18}$$

Zatitu 24+6i\sqrt{5} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{4+\sqrt{5}i}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{24±6\sqrt{5}i}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 6i\sqrt{5} ken 24.

$$x=\frac{-6\sqrt{5}i+24}{18}$$

Zatitu 24-6i\sqrt{5} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+4}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{4+\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-\sqrt{5}i+4}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}-24x+21=0$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}-24x+21-21=-21$$

21 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}-24x=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=-\frac{21}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=-\frac{21}{9}$$

Murriztu \frac{-24}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{21}{9}$$

Murriztu \frac{-21}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Zatitu -\frac{8}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{4}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{4}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{4}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{16}{9}$$

Gehitu -\frac{7}{3} eta \frac{16}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{5}i}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{5}i}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{4+\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-\sqrt{5}i+4}{3}$$