Resolver 9x^2-24x+16=0

$$9 { x }^{ 2 } -24x+16=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 9x^{2}+ax+bx+16 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-24 ab=9\times 16=144$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 144 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

-24 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-12 b=-12$$

Berridatzi 9x^{2}-24x+16 honela: \left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta -4 bigarren taldean.

$$3x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Deskonposatu 3x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

Ekuazioaren soluzioa aurkitzeko, ebatzi 3x-4=0.

$$x=\frac{4}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -24 balioa b balioarekin, eta 16 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Egin -24 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Gehitu 576 eta -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=-\frac{-24}{2\times 9}$$

-24 zenbakiaren aurkakoa 24 da.

$$x=\frac{24}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{24}{18}$$

Murriztu \frac{24}{18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{4}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Egin ken 16 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}-24x+16-16=-16$$

16 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}-24x=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=-\frac{16}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=-\frac{16}{9}$$

Murriztu \frac{-24}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{16}{9}$$

Zatitu -\frac{8}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{4}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{4}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{4}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Gehitu -\frac{16}{9} eta \frac{16}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=0$$

Atera x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{4}{3}=0 x-\frac{4}{3}=0$$

Gehitu \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{4}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa. Soluzioak berdinak dira.

$$x=\frac{4}{3}$$