Resolver 9x^2-12x+10=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+10=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}\approx 0.666666667+0.816496581i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}\approx 0.666666667-0.816496581i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Egin -12 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 10}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider 10.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-360}}{2\times 9}$$

Gehitu 144 eta -360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-216}}{2\times 9}$$

Atera -216 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 12 eta 6i\sqrt{6}.

$$x=\frac{12+6\sqrt{6}i}{18}$$

Zatitu 12+6i\sqrt{6} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 6i\sqrt{6} ken 12.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+12}{18}$$

Zatitu 12-6i\sqrt{6} balioa 18 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}-12x+10-10=-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}-12x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{10}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{10}{9}$$

Murriztu \frac{-12}{9} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{10}{9}$$

Zatitu -\frac{4}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-10+4}{9}$$

Gehitu -\frac{10}{9} eta \frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}$$

Atera x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{6}i}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$