Resolver 9x^2+14x-8=0

$$9 { x }^{ 2 } +14x-8=0$$

Ebatzi: x

$$x=-2$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 9x^{2}+ax+bx-8 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=14 ab=9\left(-8\right)=-72$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -72 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

14 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-4 b=18$$

Berridatzi 9x^{2}+14x-8 honela: \left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right).

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$x\left(9x-4\right)+2\left(9x-4\right)$$

Deskonposatu 9x-4 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(9x-4\right)\left(x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 9x-4=0 eta x+2=0.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 9 balioa a balioarekin, 14 balioa b balioarekin, eta -8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Egin 14 ber bi.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Egin -4 bider 9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Egin -36 bider -8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 9}$$

Gehitu 196 eta 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 9}$$

Atera 484 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 9}$$

Egin 2 bider 9.

$$x=\frac{-14±22}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±22}{18} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -14 eta 22.

$$x=\frac{8}{18}$$

Murriztu \frac{8}{18} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{4}{9}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-14±22}{18} ekuazioa ± minus denean. Egin 22 ken -14.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Zatitu -36 balioa 18 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x^{2}+14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

-8 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$9x^{2}+14x=-\left(-8\right)$$

Egin -8 ken 0.

$$9x^{2}+14x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$\frac{9x^{2}+14x}{9}=\frac{8}{9}$$

9 balioarekin zatituz gero, 9 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=\frac{8}{9}$$

Zatitu \frac{14}{9} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{9} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{9} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{9} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{8}{9}+\frac{49}{81}$$

Gehitu \frac{8}{9} eta \frac{49}{81} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{121}{81}$$

Atera x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{121}{81}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{81}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{9}=\frac{11}{9} x+\frac{7}{9}=-\frac{11}{9}$$

Egin ken \frac{7}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$