Resolver 9left(3x+1right)^2-64=0

$$9 { \left(3x+1 \right) }^{ 2 } -64=0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$x = -\frac{11}{9} = -1\frac{2}{9} \approx -1.222222222$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

\left(3x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9\left(9x^{2}+6x+1\right)-64=0$$

Erabili banaketa-propietatea 9 eta 9x^{2}+6x+1 biderkatzeko.

$$81x^{2}+54x+9-64=0$$

-55 lortzeko, 9 balioari kendu 64.

$$81x^{2}+54x-55=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 81x^{2}+ax+bx-55 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=54 ab=81\left(-55\right)=-4455$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -4455 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,4455 -3,1485 -5,891 -9,495 -11,405 -15,297 -27,165 -33,135 -45,99 -55,81$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+4455=4454 -3+1485=1482 -5+891=886 -9+495=486 -11+405=394 -15+297=282 -27+165=138 -33+135=102 -45+99=54 -55+81=26$$

54 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-45 b=99$$

Berridatzi 81x^{2}+54x-55 honela: \left(81x^{2}-45x\right)+\left(99x-55\right).

$$\left(81x^{2}-45x\right)+\left(99x-55\right)$$

Deskonposatu 9x lehen taldean, eta 11 bigarren taldean.

$$9x\left(9x-5\right)+11\left(9x-5\right)$$

Deskonposatu 9x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(9x-5\right)\left(9x+11\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 9x-5=0 eta 9x+11=0.

$$x=\frac{5}{9} x=-\frac{11}{9}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

\left(3x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9\left(9x^{2}+6x+1\right)-64=0$$

Erabili banaketa-propietatea 9 eta 9x^{2}+6x+1 biderkatzeko.

$$81x^{2}+54x+9-64=0$$

-55 lortzeko, 9 balioari kendu 64.

$$81x^{2}+54x-55=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 81 balioa a balioarekin, 54 balioa b balioarekin, eta -55 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-54±\sqrt{54^{2}-4\times 81\left(-55\right)}}{2\times 81}$$

Egin 54 ber bi.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-4\times 81\left(-55\right)}}{2\times 81}$$

Egin -4 bider 81.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-324\left(-55\right)}}{2\times 81}$$

Egin -324 bider -55.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916+17820}}{2\times 81}$$

Gehitu 2916 eta 17820.

$$x=\frac{-54±\sqrt{20736}}{2\times 81}$$

Atera 20736 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-54±144}{2\times 81}$$

Egin 2 bider 81.

$$x=\frac{-54±144}{162}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-54±144}{162} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -54 eta 144.

$$x=\frac{90}{162}$$

Murriztu \frac{90}{162} zatikia gai txikienera, 18 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{9}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-54±144}{162} ekuazioa ± minus denean. Egin 144 ken -54.

$$x=-\frac{198}{162}$$

Murriztu \frac{-198}{162} zatikia gai txikienera, 18 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{11}{9}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{9} x=-\frac{11}{9}$$

Karratua osatzeko urratsak

\left(3x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$9\left(9x^{2}+6x+1\right)-64=0$$

Erabili banaketa-propietatea 9 eta 9x^{2}+6x+1 biderkatzeko.

$$81x^{2}+54x+9-64=0$$

-55 lortzeko, 9 balioari kendu 64.

$$81x^{2}+54x-55=0$$

Gehitu 55 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$81x^{2}+54x=55$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 81 balioarekin.

$$\frac{81x^{2}+54x}{81}=\frac{55}{81}$$

81 balioarekin zatituz gero, 81 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{54}{81}x=\frac{55}{81}$$

Murriztu \frac{54}{81} zatikia gai txikienera, 27 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{55}{81}$$

Zatitu \frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{55}{81}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{55}{81}+\frac{1}{9}$$

Gehitu \frac{55}{81} eta \frac{1}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{64}{81}$$

Atera x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{81}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{81}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{8}{9} x+\frac{1}{3}=-\frac{8}{9}$$

Egin ken \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{9} x=-\frac{11}{9}$$