Resolver 9:6x^2-x=15

$$9 : 6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{91} + 1}{3} \approx 3.513130671$$

$$x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}\approx -2.846464005$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x=15$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x-15=15-15$$

15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu \frac{3}{2} balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{3}{2}\left(-15\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Egin -4 bider \frac{3}{2}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-6\left(-15\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Egin -6 bider -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+90}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Gehitu 1 eta 90.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{91}}{2\times \frac{3}{2}}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±\sqrt{91}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Egin 2 bider \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1±\sqrt{91}}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±\sqrt{91}}{3} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta \sqrt{91}.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±\sqrt{91}}{3} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{91} ken 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$\frac{3}{2}x^{2}-x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$\frac{\frac{3}{2}x^{2}-x}{\frac{3}{2}}=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

\frac{3}{2} balioarekin zatituz gero, \frac{3}{2} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{\frac{3}{2}}\right)x=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Zatitu -1 balioa \frac{3}{2} frakzioarekin, -1 balioa \frac{3}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{15}{\frac{3}{2}}$$

Zatitu 15 balioa \frac{3}{2} frakzioarekin, 15 balioa \frac{3}{2} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=10$$

Zatitu -\frac{2}{3} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{3} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{3} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=10+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{3} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=10+\frac{1}{9}$$

Gehitu 10 eta \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{91}{9}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{91}{9}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{91}{9}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{91}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{91}}{3}$$

Gehitu \frac{1}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{91}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{91}}{3}$$