Resolver 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305+0.184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305-0.184427778i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 84 balioa a balioarekin, 4\sqrt{3} balioa b balioarekin, eta 3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Egin 4\sqrt{3} ber bi.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Egin -4 bider 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Egin -336 bider 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Gehitu 48 eta -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Atera -960 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Egin 2 bider 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4\sqrt{3} eta 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Zatitu -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} balioa 168 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} ekuazioa ± minus denean. Egin 8i\sqrt{15} ken -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Zatitu -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} balioa 168 balioarekin.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 84 balioarekin.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

84 balioarekin zatituz gero, 84 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Zatitu 4\sqrt{3} balioa 84 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Murriztu \frac{-3}{84} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Zatitu \frac{\sqrt{3}}{21} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{\sqrt{3}}{42} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{\sqrt{3}}{42} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

Egin \frac{\sqrt{3}}{42} ber bi.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Gehitu -\frac{1}{28} eta \frac{1}{588} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Atera x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

Egin ken \frac{\sqrt{3}}{42} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$