Resolver 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Faktorizatu

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Ebazpidea

Faktorizatu adierazpena taldekatzea erabilita. Lehenik, adierazpena 81x^{2}+ax+bx+100 gisa idatzi behar da. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 8100 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

180 batura duen parea da soluzioa.

$$a=90 b=90$$

Berridatzi 81x^{2}+180x+100 honela: \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Deskonposatu 9x lehen taldean, eta 10 bigarren taldean.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Deskonposatu 9x+10 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Berridatzi karratu binomial gisa.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Binomioaren karratua darabilten urratsak

Trinomio karratu baten forma du trinomio honek, eta biderkagai komun batekin biderkatu da beharbada. Trinomio karratuak faktorizatzeko, gai nagusien eta hondarreko gaien erro karratuak aurkitu behar dira.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Aurkitu koefizienteen biderkagai komunetan handiena.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Aurkitu gai nagusiaren (81x^{2}) erro karratua.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Aurkitu hondarreko gaiaren (100) erro karratua.

$$\sqrt{100}=10$$

Gai nagusien eta hondarreko gaien erro karratuen batura edo kendura den binomioaren karratua da trinomio karratua, eta trinomio karratuaren erdiko gaiaren ikurrak zehazten du haren ikurra.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Egin 180 ber bi.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Egin -4 bider 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Egin -324 bider 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Gehitu 32400 eta -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Atera 0 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Egin 2 bider 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Faktorizatu jatorrizko adierazpena ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) erabilita. Ordeztu -\frac{10}{9} x_{1} faktorean, eta -\frac{10}{9} x_{2} faktorean.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Sinplifikatu p-\left(-q\right) motako adierazpen guztiak p+q gisa.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Gehitu \frac{10}{9} eta x izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Gehitu \frac{10}{9} eta x izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Egin \frac{9x+10}{9} bider \frac{9x+10}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Egin 9 bider 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Deuseztatu 81 eta 81 balioen faktore komunetan handiena (81).

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Ebaluatu

$$\left(9x+10\right)^{2}$$