Resolver 80x^2-100x+32=0

$$80 x ^ { 2 } - 100 x + 32 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}\approx 0.625+0.096824584i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}\approx 0.625-0.096824584i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$80x^{2}-100x+32=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 80 balioa a balioarekin, -100 balioa b balioarekin, eta 32 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 80\times 32}}{2\times 80}$$

Egin -100 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 80\times 32}}{2\times 80}$$

Egin -4 bider 80.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-320\times 32}}{2\times 80}$$

Egin -320 bider 32.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-10240}}{2\times 80}$$

Gehitu 10000 eta -10240.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{-240}}{2\times 80}$$

Atera -240 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±4\sqrt{15}i}{2\times 80}$$

-100 zenbakiaren aurkakoa 100 da.

$$x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{2\times 80}$$

Egin 2 bider 80.

$$x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{160}$$

Orain, ebatzi x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{160} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 100 eta 4i\sqrt{15}.

$$x=\frac{100+4\sqrt{15}i}{160}$$

Zatitu 100+4i\sqrt{15} balioa 160 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{160} ekuazioa ± minus denean. Egin 4i\sqrt{15} ken 100.

$$x=\frac{-4\sqrt{15}i+100}{160}$$

Zatitu 100-4i\sqrt{15} balioa 160 balioarekin.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8} x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$80x^{2}-100x+32=0$$

Egin ken 32 ekuazioaren bi aldeetan.

$$80x^{2}-100x+32-32=-32$$

32 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$80x^{2}-100x=-32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 80 balioarekin.

$$\frac{80x^{2}-100x}{80}=-\frac{32}{80}$$

80 balioarekin zatituz gero, 80 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{100}{80}\right)x=-\frac{32}{80}$$

Murriztu \frac{-100}{80} zatikia gai txikienera, 20 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{32}{80}$$

Murriztu \frac{-32}{80} zatikia gai txikienera, 16 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{2}{5}$$

Zatitu -\frac{5}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{2}{5}+\frac{25}{64}$$

Gehitu -\frac{2}{5} eta \frac{25}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{3}{320}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{320}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{320}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{15}i}{40} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{15}i}{40}$$

Gehitu \frac{5}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8} x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$