Resolver 8x^2-x-180=0

$$8 x ^ { 2 } - x - 180 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{5761} + 1}{16} \approx 4.806328227$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}\approx -4.681328227$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}-x-180=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -180 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 8\left(-180\right)}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-32\left(-180\right)}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider -180.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+5760}}{2\times 8}$$

Gehitu 1 eta 5760.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5761}}{2\times 8}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±\sqrt{5761}}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{1±\sqrt{5761}}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±\sqrt{5761}}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta \sqrt{5761}.

$$x=\frac{\sqrt{5761}+1}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±\sqrt{5761}}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{5761} ken 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{5761}+1}{16} x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}-x-180=0$$

Gehitu 180 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x^{2}-x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

-180 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$8x^{2}-x=-\left(-180\right)$$

Egin -180 ken 0.

$$8x^{2}-x=180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}-x}{8}=\frac{180}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=\frac{180}{8}$$

Murriztu \frac{180}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=\frac{45}{2}$$

Zatitu -\frac{1}{8} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{16} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{16} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{16} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{45}{2}+\frac{1}{256}$$

Gehitu \frac{45}{2} eta \frac{1}{256} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{5761}{256}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{5761}{256}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5761}{256}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{16}=\frac{\sqrt{5761}}{16} x-\frac{1}{16}=-\frac{\sqrt{5761}}{16}$$

Gehitu \frac{1}{16} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{5761}+1}{16} x=\frac{1-\sqrt{5761}}{16}$$