Resolver 8x^2-9x+1=0

$$8 x ^ { 2 } - 9 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 8x^{2}+ax+bx+1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-9 ab=8\times 1=8$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 8 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-8 -2,-4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

-9 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-8 b=-1$$

Berridatzi 8x^{2}-9x+1 honela: \left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right)$$

Deskonposatu 8x lehen taldean, eta -1 bigarren taldean.

$$8x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Deskonposatu x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-1=0 eta 8x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, -9 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Egin -9 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 8}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 8}$$

Gehitu 81 eta -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 8}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 8}$$

-9 zenbakiaren aurkakoa 9 da.

$$x=\frac{9±7}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{9±7}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±7}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 9 eta 7.

$$x=\frac{16}{16}$$

Zatitu 16 balioa 16 balioarekin.

$$x=1$$

Orain, ebatzi x=\frac{9±7}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken 9.

$$x=\frac{2}{16}$$

Murriztu \frac{2}{16} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x^{2}-9x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$8x^{2}-9x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}-9x}{8}=-\frac{1}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Zatitu -\frac{9}{8} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{16} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{16} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{16} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

Gehitu -\frac{1}{8} eta \frac{81}{256} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Atera x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Gehitu \frac{9}{16} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$