Resolver 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1.112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0.112372436$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, -8 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Egin -8 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Gehitu 64 eta 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Atera 96 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Zatitu 8+4\sqrt{6} balioa 16 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin 4\sqrt{6} ken 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Zatitu 8-4\sqrt{6} balioa 16 balioarekin.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Zatitu -8 balioa 8 balioarekin.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Zatitu -1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{1}{8} eta \frac{1}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Atera x^{2}-x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Gehitu \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$