Resolver 8x^2-500x-5575=0

$$8 x ^ { 2 } - 500 x - 5575 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{15 \sqrt{119} + 125}{4} \approx 72.15767043$$

$$x=\frac{125-15\sqrt{119}}{4}\approx -9.65767043$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}-500x-5575=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, -500 balioa b balioarekin, eta -5575 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-500\right)±\sqrt{\left(-500\right)^{2}-4\times 8\left(-5575\right)}}{2\times 8}$$

Egin -500 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-500\right)±\sqrt{250000-4\times 8\left(-5575\right)}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-500\right)±\sqrt{250000-32\left(-5575\right)}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider -5575.

$$x=\frac{-\left(-500\right)±\sqrt{250000+178400}}{2\times 8}$$

Gehitu 250000 eta 178400.

$$x=\frac{-\left(-500\right)±\sqrt{428400}}{2\times 8}$$

Atera 428400 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-500\right)±60\sqrt{119}}{2\times 8}$$

-500 zenbakiaren aurkakoa 500 da.

$$x=\frac{500±60\sqrt{119}}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{500±60\sqrt{119}}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{500±60\sqrt{119}}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 500 eta 60\sqrt{119}.

$$x=\frac{60\sqrt{119}+500}{16}$$

Zatitu 500+60\sqrt{119} balioa 16 balioarekin.

$$x=\frac{15\sqrt{119}+125}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{500±60\sqrt{119}}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin 60\sqrt{119} ken 500.

$$x=\frac{500-60\sqrt{119}}{16}$$

Zatitu 500-60\sqrt{119} balioa 16 balioarekin.

$$x=\frac{125-15\sqrt{119}}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{15\sqrt{119}+125}{4} x=\frac{125-15\sqrt{119}}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}-500x-5575=0$$

Gehitu 5575 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x^{2}-500x-5575-\left(-5575\right)=-\left(-5575\right)$$

-5575 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$8x^{2}-500x=-\left(-5575\right)$$

Egin -5575 ken 0.

$$8x^{2}-500x=5575$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}-500x}{8}=\frac{5575}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{500}{8}\right)x=\frac{5575}{8}$$

Murriztu \frac{-500}{8} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{125}{2}x=\frac{5575}{8}$$

Zatitu -\frac{125}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{125}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{125}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{125}{2}x+\left(-\frac{125}{4}\right)^{2}=\frac{5575}{8}+\left(-\frac{125}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{125}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{125}{2}x+\frac{15625}{16}=\frac{5575}{8}+\frac{15625}{16}$$

Gehitu \frac{5575}{8} eta \frac{15625}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{125}{2}x+\frac{15625}{16}=\frac{26775}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{125}{2}x+\frac{15625}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{125}{4}\right)^{2}=\frac{26775}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{125}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{26775}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{125}{4}=\frac{15\sqrt{119}}{4} x-\frac{125}{4}=-\frac{15\sqrt{119}}{4}$$

Gehitu \frac{125}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{15\sqrt{119}+125}{4} x=\frac{125-15\sqrt{119}}{4}$$