Resolver 8x^2-14x-15=0

$$8 x ^ { 2 } - 14 x - 15 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 8x^{2}+ax+bx-15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -120 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

-14 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-20 b=6$$

Berridatzi 8x^{2}-14x-15 honela: \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Deskonposatu 4x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Deskonposatu 2x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-5=0 eta 4x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, -14 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Egin -14 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Gehitu 196 eta 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Atera 676 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

-14 zenbakiaren aurkakoa 14 da.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±26}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 14 eta 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Murriztu \frac{40}{16} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±26}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin 26 ken 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Murriztu \frac{-12}{16} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x^{2}-14x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$8x^{2}-14x=-\left(-15\right)$$

Egin -15 ken 0.

$$8x^{2}-14x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}-14x}{8}=\frac{15}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{8}\right)x=\frac{15}{8}$$

Murriztu \frac{-14}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{15}{8}$$

Zatitu -\frac{7}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{15}{8}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{15}{8}+\frac{49}{64}$$

Gehitu \frac{15}{8} eta \frac{49}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{169}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{13}{8}$$

Gehitu \frac{7}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{4}$$