Resolver 8x^2-14x=6

$$8 x ^ { 2 } - 14 x = 6$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 7}{8} \approx 2.106107225$$

$$x=\frac{7-\sqrt{97}}{8}\approx -0.356107225$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}-14x=6$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x^{2}-14x-6=6-6$$

6 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$8x^{2}-14x-6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, -14 balioa b balioarekin, eta -6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-6\right)}}{2\times 8}$$

Egin -14 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-6\right)}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-6\right)}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider -6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+192}}{2\times 8}$$

Gehitu 196 eta 192.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{388}}{2\times 8}$$

Atera 388 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{97}}{2\times 8}$$

-14 zenbakiaren aurkakoa 14 da.

$$x=\frac{14±2\sqrt{97}}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{14±2\sqrt{97}}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±2\sqrt{97}}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 14 eta 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+14}{16}$$

Zatitu 14+2\sqrt{97} balioa 16 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{97}+7}{8}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±2\sqrt{97}}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{97} ken 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{97}}{16}$$

Zatitu 14-2\sqrt{97} balioa 16 balioarekin.

$$x=\frac{7-\sqrt{97}}{8}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{97}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{97}}{8}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}-14x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}-14x}{8}=\frac{6}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{8}\right)x=\frac{6}{8}$$

Murriztu \frac{-14}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{6}{8}$$

Murriztu \frac{6}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{3}{4}$$

Zatitu -\frac{7}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Gehitu \frac{3}{4} eta \frac{49}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{97}{64}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{97}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{97}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{97}}{8}$$

Gehitu \frac{7}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{97}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{97}}{8}$$