Resolver 8x^2+13x+10=0

$$8 x ^ { 2 } + 13 x + 10 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}\approx -0.8125+0.768012858i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}\approx -0.8125-0.768012858i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, 13 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

Egin 13 ber bi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-32\times 10}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider 10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-320}}{2\times 8}$$

Gehitu 169 eta -320.

$$x=\frac{-13±\sqrt{-151}}{2\times 8}$$

Atera -151 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -13 eta i\sqrt{151}.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{151} ken -13.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x^{2}+13x+10-10=-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$8x^{2}+13x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}+13x}{8}=-\frac{10}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{10}{8}$$

Murriztu \frac{-10}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{5}{4}$$

Zatitu \frac{13}{8} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{13}{16} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{13}{16} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}$$

Egin \frac{13}{16} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{256}$$

Gehitu -\frac{5}{4} eta \frac{169}{256} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{151}{256}$$

Atera x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{151}{256}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{256}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{13}{16}=\frac{\sqrt{151}i}{16} x+\frac{13}{16}=-\frac{\sqrt{151}i}{16}$$

Egin ken \frac{13}{16} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$