Resolver 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 8x^{2}+ax+bx-7 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -56 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

10 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-4 b=14$$

Berridatzi 8x^{2}+10x-7 honela: \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Deskonposatu 4x lehen taldean, eta 7 bigarren taldean.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Deskonposatu 2x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-1=0 eta 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, 10 balioa b balioarekin, eta -7 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Egin 10 ber bi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Gehitu 100 eta 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Atera 324 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±18}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -10 eta 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Murriztu \frac{8}{16} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-10±18}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin 18 ken -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Murriztu \frac{-28}{16} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Egin -7 ken 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Murriztu \frac{10}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Zatitu \frac{5}{4} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{8} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{8} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{8} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Gehitu \frac{7}{8} eta \frac{25}{64} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Atera x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Egin ken \frac{5}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$