Resolver 8-26y+11y^2=0

$$8 - 26 y + 11 y ^ { 2 } = 0$$

Ebatzi: y

$$y=2$$

$$y=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 11y^{2}+ay+by+8 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-26 ab=11\times 8=88$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 88 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-88 -2,-44 -4,-22 -8,-11$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-88=-89 -2-44=-46 -4-22=-26 -8-11=-19$$

-26 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-22 b=-4$$

Berridatzi 11y^{2}-26y+8 honela: \left(11y^{2}-22y\right)+\left(-4y+8\right).

$$\left(11y^{2}-22y\right)+\left(-4y+8\right)$$

Deskonposatu 11y lehen taldean, eta -4 bigarren taldean.

$$11y\left(y-2\right)-4\left(y-2\right)$$

Deskonposatu y-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(y-2\right)\left(11y-4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi y-2=0 eta 11y-4=0.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 11 balioa a balioarekin, -26 balioa b balioarekin, eta 8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 11\times 8}}{2\times 11}$$

Egin -26 ber bi.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-4\times 11\times 8}}{2\times 11}$$

Egin -4 bider 11.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-44\times 8}}{2\times 11}$$

Egin -44 bider 8.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-352}}{2\times 11}$$

Gehitu 676 eta -352.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{324}}{2\times 11}$$

Atera 324 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-\left(-26\right)±18}{2\times 11}$$

-26 zenbakiaren aurkakoa 26 da.

$$y=\frac{26±18}{2\times 11}$$

Egin 2 bider 11.

$$y=\frac{26±18}{22}$$

Orain, ebatzi y=\frac{26±18}{22} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 26 eta 18.

$$y=\frac{44}{22}$$

Zatitu 44 balioa 22 balioarekin.

$$y=2$$

Orain, ebatzi y=\frac{26±18}{22} ekuazioa ± minus denean. Egin 18 ken 26.

$$y=\frac{8}{22}$$

Murriztu \frac{8}{22} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$y=\frac{4}{11}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$11y^{2}-26y+8=0$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$11y^{2}-26y+8-8=-8$$

8 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$11y^{2}-26y=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$\frac{11y^{2}-26y}{11}=-\frac{8}{11}$$

11 balioarekin zatituz gero, 11 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y=-\frac{8}{11}$$

Zatitu -\frac{26}{11} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{13}{11} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{13}{11} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\left(-\frac{13}{11}\right)^{2}=-\frac{8}{11}+\left(-\frac{13}{11}\right)^{2}$$

Egin -\frac{13}{11} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121}=-\frac{8}{11}+\frac{169}{121}$$

Gehitu -\frac{8}{11} eta \frac{169}{121} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121}=\frac{81}{121}$$

Atera y^{2}-\frac{26}{11}y+\frac{169}{121} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(y-\frac{13}{11}\right)^{2}=\frac{81}{121}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(y-\frac{13}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{121}}$$

Sinplifikatu.

$$y-\frac{13}{11}=\frac{9}{11} y-\frac{13}{11}=-\frac{9}{11}$$

Gehitu \frac{13}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2 y=\frac{4}{11}$$