Resolver 8x^2-7x+2=0

$$8 { x }^{ 2 } -7x+2=0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}\approx 0.4375+0.242061459i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}\approx 0.4375-0.242061459i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 8 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

Egin -7 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32\times 2}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-64}}{2\times 8}$$

Gehitu 49 eta -64.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-15}}{2\times 8}$$

Atera -15 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta i\sqrt{15}.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{15} ken 7.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x^{2}-7x+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$8x^{2}-7x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$\frac{8x^{2}-7x}{8}=-\frac{2}{8}$$

8 balioarekin zatituz gero, 8 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{2}{8}$$

Murriztu \frac{-2}{8} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{1}{4}$$

Zatitu -\frac{7}{8} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{16} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{16} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{16} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{256}$$

Gehitu -\frac{1}{4} eta \frac{49}{256} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{15}{256}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{15}{256}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{256}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{15}i}{16} x-\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{15}i}{16}$$

Gehitu \frac{7}{16} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$