Resolver 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Faktorizatu

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Ebazpidea

Faktorizatu adierazpena taldekatzea erabilita. Lehenik, adierazpena 8x^{2}+ax+bx-15 gisa idatzi behar da. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -120 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

-14 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-20 b=6$$

Berridatzi 8x^{2}-14x-15 honela: \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Deskonposatu 4x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Deskonposatu 2x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Egin -14 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Egin -4 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Egin -32 bider -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Gehitu 196 eta 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Atera 676 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

-14 zenbakiaren aurkakoa 14 da.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Egin 2 bider 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±26}{16} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 14 eta 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Murriztu \frac{40}{16} zatikia gai txikienera, 8 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{14±26}{16} ekuazioa ± minus denean. Egin 26 ken 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Murriztu \frac{-12}{16} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Faktorizatu jatorrizko adierazpena ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) erabilita. Ordeztu \frac{5}{2} x_{1} faktorean, eta -\frac{3}{4} x_{2} faktorean.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Sinplifikatu p-\left(-q\right) motako adierazpen guztiak p+q gisa.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Egin \frac{5}{2} ken x izendatzaile komuna aurkitu, eta zenbakitzaileen arteko kenketa eginda. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Gehitu \frac{3}{4} eta x izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Egin \frac{2x-5}{2} bider \frac{4x+3}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Egin 2 bider 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Deuseztatu 8 eta 8 balioen faktore komunetan handiena (8).

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Ebaluatu

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$