Resolver 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 15x^{2}+ax+bx-2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -30 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-3 b=10$$

Berridatzi 15x^{2}+7x-2 honela: \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Deskonposatu 5x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 5x-1=0 eta 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 75 balioa a balioarekin, 35 balioa b balioarekin, eta -10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Egin 35 ber bi.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Egin -4 bider 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Egin -300 bider -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Gehitu 1225 eta 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Atera 4225 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Egin 2 bider 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-35±65}{150} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -35 eta 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Murriztu \frac{30}{150} zatikia gai txikienera, 30 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{1}{5}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-35±65}{150} ekuazioa ± minus denean. Egin 65 ken -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Murriztu \frac{-100}{150} zatikia gai txikienera, 50 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Egin -10 ken 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 75 balioarekin.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

75 balioarekin zatituz gero, 75 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Murriztu \frac{35}{75} zatikia gai txikienera, 5 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Murriztu \frac{10}{75} zatikia gai txikienera, 5 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Zatitu \frac{7}{15} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{30} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{30} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{30} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Gehitu \frac{2}{15} eta \frac{49}{900} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Egin ken \frac{7}{30} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$