Resolver 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x-15y-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x-15y=2$$

Gehitu 15y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=15y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Ordeztu \frac{15y+2}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+2y=3).

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Gehitu \frac{15y}{7} eta 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Egin ken \frac{2}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{29}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{19}{29}$$

Ordeztu \frac{19}{29} y balioarekin x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Egin \frac{15}{7} bider \frac{19}{29}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Gehitu \frac{2}{7} eta \frac{285}{203} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{49}{29}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

7x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Sinplifikatu.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Egin 7x+14y=21 ken 7x-15y-2=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Gehitu 7x eta -7x. Sinplifikatu egiten dira 7x eta -7x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15y-14y-2=-21$$

Gehitu -15y eta -14y.

$$-29y-2=-21$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-29y=-19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -29 balioarekin.

$$y=\frac{19}{29}$$

Ordeztu \frac{19}{29} y balioarekin x+2y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Egin 2 bider \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Egin ken \frac{38}{29} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{49}{29}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$