Resolver 7x^2-4x+6=0

$$7 x ^ { 2 } - 4 x + 6 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7}\approx 0.285714286+0.880630572i$$

$$x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}\approx 0.285714286-0.880630572i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}-4x+6=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, -4 balioa b balioarekin, eta 6 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\times 6}}{2\times 7}$$

Egin -4 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\times 6}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\times 6}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider 6.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-168}}{2\times 7}$$

Gehitu 16 eta -168.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-152}}{2\times 7}$$

Atera -152 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{38}i}{2\times 7}$$

-4 zenbakiaren aurkakoa 4 da.

$$x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 4 eta 2i\sqrt{38}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{38}i}{14}$$

Zatitu 4+2i\sqrt{38} balioa 14 balioarekin.

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7}$$

Orain, ebatzi x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{38} ken 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{38}i+4}{14}$$

Zatitu 4-2i\sqrt{38} balioa 14 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7} x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}-4x+6=0$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}-4x+6-6=-6$$

6 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}-4x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}-4x}{7}=-\frac{6}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x=-\frac{6}{7}$$

Zatitu -\frac{4}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{2}{7} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{2}{7} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{6}{7}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Egin -\frac{2}{7} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{6}{7}+\frac{4}{49}$$

Gehitu -\frac{6}{7} eta \frac{4}{49} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{38}{49}$$

Atera x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{38}{49}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{38}{49}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{38}i}{7} x-\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{38}i}{7}$$

Gehitu \frac{2}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7} x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}$$