Resolver 7x^2-31x-20=0

$$7 x ^ { 2 } - 31 x - 20 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{4}{7}\approx -0.571428571$$

$$x=5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 7x^{2}+ax+bx-20 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-31 ab=7\left(-20\right)=-140$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -140 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-140 2,-70 4,-35 5,-28 7,-20 10,-14$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-140=-139 2-70=-68 4-35=-31 5-28=-23 7-20=-13 10-14=-4$$

-31 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-35 b=4$$

Berridatzi 7x^{2}-31x-20 honela: \left(7x^{2}-35x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(4x-20\right)$$

Deskonposatu 7x lehen taldean, eta 4 bigarren taldean.

$$7x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Deskonposatu x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-5\right)\left(7x+4\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-5=0 eta 7x+4=0.

$$x=5 x=-\frac{4}{7}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}-31x-20=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, -31 balioa b balioarekin, eta -20 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 7\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Egin -31 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 7\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-28\left(-20\right)}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider -20.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+560}}{2\times 7}$$

Gehitu 961 eta 560.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1521}}{2\times 7}$$

Atera 1521 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±39}{2\times 7}$$

-31 zenbakiaren aurkakoa 31 da.

$$x=\frac{31±39}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{31±39}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{31±39}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 31 eta 39.

$$x=\frac{70}{14}$$

Zatitu 70 balioa 14 balioarekin.

$$x=5$$

Orain, ebatzi x=\frac{31±39}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 39 ken 31.

$$x=-\frac{8}{14}$$

Murriztu \frac{-8}{14} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{4}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=5 x=-\frac{4}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}-31x-20=0$$

Gehitu 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}-31x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}-31x=-\left(-20\right)$$

Egin -20 ken 0.

$$7x^{2}-31x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}-31x}{7}=\frac{20}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x=\frac{20}{7}$$

Zatitu -\frac{31}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{31}{14} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{31}{14} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x+\left(-\frac{31}{14}\right)^{2}=\frac{20}{7}+\left(-\frac{31}{14}\right)^{2}$$

Egin -\frac{31}{14} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x+\frac{961}{196}=\frac{20}{7}+\frac{961}{196}$$

Gehitu \frac{20}{7} eta \frac{961}{196} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{31}{7}x+\frac{961}{196}=\frac{1521}{196}$$

Atera x^{2}-\frac{31}{7}x+\frac{961}{196} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{31}{14}\right)^{2}=\frac{1521}{196}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{196}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{31}{14}=\frac{39}{14} x-\frac{31}{14}=-\frac{39}{14}$$

Gehitu \frac{31}{14} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5 x=-\frac{4}{7}$$