Resolver 7x^2-2x-3=0

$$7 x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}\approx 0.812916537$$

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}\approx -0.527202251$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}-2x-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+84}}{2\times 7}$$

Gehitu 4 eta 84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{88}}{2\times 7}$$

Atera 88 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+2}{14}$$

Zatitu 2+2\sqrt{22} balioa 14 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{22} ken 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{22}}{14}$$

Zatitu 2-2\sqrt{22} balioa 14 balioarekin.

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}-2x-3=0$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

Egin -3 ken 0.

$$7x^{2}-2x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}-2x}{7}=\frac{3}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}$$

Zatitu -\frac{2}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{7} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{7} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{7} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{3}{7}+\frac{1}{49}$$

Gehitu \frac{3}{7} eta \frac{1}{49} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{22}{49}$$

Atera x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{22}{49}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{49}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{22}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{22}}{7}$$

Gehitu \frac{1}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$