Resolver 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x=3$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 7x^{2}+ax+bx-9 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -63 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

-18 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-21 b=3$$

Berridatzi 7x^{2}-18x-9 honela: \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

Deskonposatu 7x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Deskonposatu x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-3=0 eta 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, -18 balioa b balioarekin, eta -9 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Egin -18 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Gehitu 324 eta 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Atera 576 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

-18 zenbakiaren aurkakoa 18 da.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{18±24}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 18 eta 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Zatitu 42 balioa 14 balioarekin.

$$x=3$$

Orain, ebatzi x=\frac{18±24}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 24 ken 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Murriztu \frac{-6}{14} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Egin -9 ken 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Zatitu -\frac{18}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{9}{7} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{9}{7} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Egin -\frac{9}{7} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Gehitu \frac{9}{7} eta \frac{81}{49} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Atera x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Gehitu \frac{9}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$