Resolver 7x^2-12x+8=0

$$7 x ^ { 2 } - 12 x + 8 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}\approx 0.857142857+0.638876565i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}\approx 0.857142857-0.638876565i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, -12 balioa b balioarekin, eta 8 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Egin -12 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-28\times 8}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 7}$$

Gehitu 144 eta -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 7}$$

Atera -80 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

-12 zenbakiaren aurkakoa 12 da.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 12 eta 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{14}$$

Zatitu 12+4i\sqrt{5} balioa 14 balioarekin.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}$$

Orain, ebatzi x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 4i\sqrt{5} ken 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{14}$$

Zatitu 12-4i\sqrt{5} balioa 14 balioarekin.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}-12x+8-8=-8$$

8 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}-12x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}-12x}{7}=-\frac{8}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{8}{7}$$

Zatitu -\frac{12}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{6}{7} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{6}{7} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Egin -\frac{6}{7} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{8}{7}+\frac{36}{49}$$

Gehitu -\frac{8}{7} eta \frac{36}{49} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{20}{49}$$

Atera x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{20}{49}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{49}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{5}i}{7} x-\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{5}i}{7}$$

Gehitu \frac{6}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$