Resolver 7x^2+5x+5=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}\approx -0.357142857+0.765986092i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}\approx -0.357142857-0.765986092i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, 5 balioa b balioarekin, eta 5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Egin 5 ber bi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 5}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-140}}{2\times 7}$$

Gehitu 25 eta -140.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-115}}{2\times 7}$$

Atera -115 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -5 eta i\sqrt{115}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin i\sqrt{115} ken -5.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}+5x+5-5=-5$$

5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}+5x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{5}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Zatitu \frac{5}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{14} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{14} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{14} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{5}{7}+\frac{25}{196}$$

Gehitu -\frac{5}{7} eta \frac{25}{196} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{115}{196}$$

Atera x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{115}{196}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{196}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{115}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{115}i}{14}$$

Egin ken \frac{5}{14} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$