Resolver 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, 4 balioa b balioarekin, eta 1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Egin 4 ber bi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Gehitu 16 eta -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Atera -12 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -4 eta 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Zatitu -4+2i\sqrt{3} balioa 14 balioarekin.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 2i\sqrt{3} ken -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Zatitu -4-2i\sqrt{3} balioa 14 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Zatitu \frac{4}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{2}{7} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{2}{7} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Egin \frac{2}{7} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Gehitu -\frac{1}{7} eta \frac{4}{49} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Atera x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Egin ken \frac{2}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$