Resolver 7x^2+33x-10=0

$$7 x ^ { 2 } + 33 x - 10 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0.285714286$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 7x^{2}+ax+bx-10 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=33 ab=7\left(-10\right)=-70$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b positiboa denez, zenbaki positiboak negatiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -70 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,70 -2,35 -5,14 -7,10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1+70=69 -2+35=33 -5+14=9 -7+10=3$$

33 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-2 b=35$$

Berridatzi 7x^{2}+33x-10 honela: \left(7x^{2}-2x\right)+\left(35x-10\right).

$$\left(7x^{2}-2x\right)+\left(35x-10\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$x\left(7x-2\right)+5\left(7x-2\right)$$

Deskonposatu 7x-2 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(7x-2\right)\left(x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 7x-2=0 eta x+5=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-5$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}+33x-10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, 33 balioa b balioarekin, eta -10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 7\left(-10\right)}}{2\times 7}$$

Egin 33 ber bi.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 7\left(-10\right)}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-28\left(-10\right)}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider -10.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+280}}{2\times 7}$$

Gehitu 1089 eta 280.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1369}}{2\times 7}$$

Atera 1369 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-33±37}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{-33±37}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-33±37}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -33 eta 37.

$$x=\frac{4}{14}$$

Murriztu \frac{4}{14} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{2}{7}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-33±37}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 37 ken -33.

$$x=-\frac{70}{14}$$

Zatitu -70 balioa 14 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{2}{7} x=-5$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}+33x-10=0$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}+33x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}+33x=-\left(-10\right)$$

Egin -10 ken 0.

$$7x^{2}+33x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}+33x}{7}=\frac{10}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{33}{7}x=\frac{10}{7}$$

Zatitu \frac{33}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{33}{14} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{33}{14} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{33}{7}x+\left(\frac{33}{14}\right)^{2}=\frac{10}{7}+\left(\frac{33}{14}\right)^{2}$$

Egin \frac{33}{14} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{33}{7}x+\frac{1089}{196}=\frac{10}{7}+\frac{1089}{196}$$

Gehitu \frac{10}{7} eta \frac{1089}{196} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{33}{7}x+\frac{1089}{196}=\frac{1369}{196}$$

Atera x^{2}+\frac{33}{7}x+\frac{1089}{196} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{33}{14}\right)^{2}=\frac{1369}{196}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{33}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{196}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{33}{14}=\frac{37}{14} x+\frac{33}{14}=-\frac{37}{14}$$

Egin ken \frac{33}{14} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{2}{7} x=-5$$