Resolver 7k^2+18k-27=0

$$7 k ^ { 2 } + 18 k - 27 = 0$$

Ebatzi: k

$$k = \frac{3 \sqrt{30} - 9}{7} \approx 1.061668104$$

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}\approx -3.633096675$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, 18 balioa b balioarekin, eta -27 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$k=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Egin 18 ber bi.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-28\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider -27.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324+756}}{2\times 7}$$

Gehitu 324 eta 756.

$$k=\frac{-18±\sqrt{1080}}{2\times 7}$$

Atera 1080 balioaren erro karratua.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -18 eta 6\sqrt{30}.

$$k=\frac{6\sqrt{30}-18}{14}$$

Zatitu -18+6\sqrt{30} balioa 14 balioarekin.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7}$$

Orain, ebatzi k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 6\sqrt{30} ken -18.

$$k=\frac{-6\sqrt{30}-18}{14}$$

Zatitu -18-6\sqrt{30} balioa 14 balioarekin.

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

Gehitu 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7k^{2}+18k-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

-27 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7k^{2}+18k=-\left(-27\right)$$

Egin -27 ken 0.

$$7k^{2}+18k=27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7k^{2}+18k}{7}=\frac{27}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k=\frac{27}{7}$$

Zatitu \frac{18}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{9}{7} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{9}{7} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{27}{7}+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Egin \frac{9}{7} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{27}{7}+\frac{81}{49}$$

Gehitu \frac{27}{7} eta \frac{81}{49} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{270}{49}$$

Atera k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{270}{49}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{270}{49}}$$

Sinplifikatu.

$$k+\frac{9}{7}=\frac{3\sqrt{30}}{7} k+\frac{9}{7}=-\frac{3\sqrt{30}}{7}$$

Egin ken \frac{9}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$