Resolver 7x^2-80x+47=0

$$7 { x }^{ 2 } -80x+47=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{1271} + 40}{7} \approx 10.807298134$$

$$x=\frac{40-\sqrt{1271}}{7}\approx 0.621273294$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}-80x+47=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, -80 balioa b balioarekin, eta 47 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 7\times 47}}{2\times 7}$$

Egin -80 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 7\times 47}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-28\times 47}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider 47.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-1316}}{2\times 7}$$

Gehitu 6400 eta -1316.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{5084}}{2\times 7}$$

Atera 5084 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±2\sqrt{1271}}{2\times 7}$$

-80 zenbakiaren aurkakoa 80 da.

$$x=\frac{80±2\sqrt{1271}}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{80±2\sqrt{1271}}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{80±2\sqrt{1271}}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 80 eta 2\sqrt{1271}.

$$x=\frac{2\sqrt{1271}+80}{14}$$

Zatitu 80+2\sqrt{1271} balioa 14 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{1271}+40}{7}$$

Orain, ebatzi x=\frac{80±2\sqrt{1271}}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{1271} ken 80.

$$x=\frac{80-2\sqrt{1271}}{14}$$

Zatitu 80-2\sqrt{1271} balioa 14 balioarekin.

$$x=\frac{40-\sqrt{1271}}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{1271}+40}{7} x=\frac{40-\sqrt{1271}}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}-80x+47=0$$

Egin ken 47 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}-80x+47-47=-47$$

47 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}-80x=-47$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}-80x}{7}=-\frac{47}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x=-\frac{47}{7}$$

Zatitu -\frac{80}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{40}{7} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{40}{7} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x+\left(-\frac{40}{7}\right)^{2}=-\frac{47}{7}+\left(-\frac{40}{7}\right)^{2}$$

Egin -\frac{40}{7} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x+\frac{1600}{49}=-\frac{47}{7}+\frac{1600}{49}$$

Gehitu -\frac{47}{7} eta \frac{1600}{49} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x+\frac{1600}{49}=\frac{1271}{49}$$

Atera x^{2}-\frac{80}{7}x+\frac{1600}{49} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{40}{7}\right)^{2}=\frac{1271}{49}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{40}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1271}{49}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{40}{7}=\frac{\sqrt{1271}}{7} x-\frac{40}{7}=-\frac{\sqrt{1271}}{7}$$

Gehitu \frac{40}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{1271}+40}{7} x=\frac{40-\sqrt{1271}}{7}$$