Resolver 7x^2-3x-5=0

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1.086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0.657611115$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 7 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta -5 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Egin -3 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Egin -4 bider 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Egin -28 bider -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

Gehitu 9 eta 140.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Egin 2 bider 7.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta \sqrt{149}.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{149} ken 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Egin -5 ken 0.

$$7x^{2}-3x=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

7 balioarekin zatituz gero, 7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

Zatitu -\frac{3}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{14} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{14} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{14} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

Gehitu \frac{5}{7} eta \frac{9}{196} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

Gehitu \frac{3}{14} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$