Resolver 69x-4<2x^2

$$69 x - 4 < 2 x ^ { 2 }$$

Ebatzi: x

$$x\in \left(-\infty,\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{4729}+69}{4},\infty\right)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$69x-4-2x^{2}<0$$

Biderkatu desberdintasuna -1 balioarekin 69x-4-2x^{2} adierazpeneko berretura handieneko koefizientea positibo bihurtzeko. -1 negatiboa denez, aldatu egingo da desberdintasun-ekuazioaren noranzkoa.

$$-69x+4+2x^{2}>0$$

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$-69x+4+2x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -69 balioa b balioarekin, eta 4 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{\left(-69\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{69±\sqrt{4729}}{4}$$

Ebatzi x=\frac{69±\sqrt{4729}}{4} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\frac{\sqrt{4729}+69}{4} x=\frac{69-\sqrt{4729}}{4}$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}\right)\left(x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\right)>0$$

Biderkadura positiboa izan dadin, x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} eta x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} balioak negatiboak edo positiboak izan behar dira. Hartu kasua kontuan x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} eta x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} balioak negatiboak direnean.

$$x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}<0 x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}<0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4} da.

$$x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}$$

Hartu kasua kontuan x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} eta x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} balioak positiboak direnean.

$$x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}>0 x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}>0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4} da.

$$x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}$$