Resolver 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0.419262746+0.582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0.419262746-0.582961191i$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 64 balioa a balioarekin, 24\sqrt{5} balioa b balioarekin, eta 33 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Egin 24\sqrt{5} ber bi.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Egin -4 bider 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Egin -256 bider 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Gehitu 2880 eta -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Atera -5568 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Egin 2 bider 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -24\sqrt{5} eta 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Zatitu -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} balioa 128 balioarekin.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} ekuazioa ± minus denean. Egin 8i\sqrt{87} ken -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Zatitu -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} balioa 128 balioarekin.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Egin ken 33 ekuazioaren bi aldeetan.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

33 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 64 balioarekin.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

64 balioarekin zatituz gero, 64 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Zatitu 24\sqrt{5} balioa 64 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Zatitu \frac{3\sqrt{5}}{8} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{3\sqrt{5}}{16} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{3\sqrt{5}}{16} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Egin \frac{3\sqrt{5}}{16} ber bi.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Gehitu -\frac{33}{64} eta \frac{45}{256} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Atera x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Egin ken \frac{3\sqrt{5}}{16} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$