Resolver 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Kendu 15 bi aldeetatik.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6x^{2}+ax+bx-15 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -90 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-10 b=9$$

Berridatzi 6x^{2}-x-15 honela: \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 3 bigarren taldean.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Deskonposatu 3x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 3x-5=0 eta 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}-x=15$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

15 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta -15 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Gehitu 1 eta 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Atera 361 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±19}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Murriztu \frac{20}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{5}{3}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±19}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 19 ken 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Murriztu \frac{-18}{12} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6x^{2}-x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Murriztu \frac{15}{6} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Zatitu -\frac{1}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{1}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{1}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Egin -\frac{1}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Gehitu \frac{5}{2} eta \frac{1}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Atera x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Gehitu \frac{1}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$