Resolver 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6x^{2}+ax+bx-3 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -18 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

-7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-9 b=2$$

Berridatzi 6x^{2}-7x-3 honela: \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Deskonposatu 3x 6x^{2}-9x taldean.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Deskonposatu 2x-3 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x-3=0 eta 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, -7 balioa b balioarekin, eta -3 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Egin -7 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Gehitu 49 eta 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Atera 121 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

-7 zenbakiaren aurkakoa 7 da.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±11}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 7 eta 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Murriztu \frac{18}{12} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=\frac{3}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{7±11}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 11 ken 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Murriztu \frac{-4}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Egin -3 ken 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Murriztu \frac{3}{6} zatikia gai txikienera, 3 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Zatitu -\frac{7}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{7}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{7}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Egin -\frac{7}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{49}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Atera x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Gehitu \frac{7}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$