Resolver 6x^2+7x+2=0

$$6 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6x^{2}+ax+bx+2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 12 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,12 2,6 3,4$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

7 batura duen parea da soluzioa.

$$a=3 b=4$$

Berridatzi 6x^{2}+7x+2 honela: \left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right).

$$\left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right)$$

Deskonposatu 3x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$3x\left(2x+1\right)+2\left(2x+1\right)$$

Deskonposatu 2x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 2x+1=0 eta 3x+2=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, 7 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Egin 7 ber bi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Gehitu 49 eta -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Atera 1 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{-7±1}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±1}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -7 eta 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Murriztu \frac{-6}{12} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-7±1}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 1 ken -7.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Murriztu \frac{-8}{12} zatikia gai txikienera, 4 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x^{2}+7x+2-2=-2$$

2 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$6x^{2}+7x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Murriztu \frac{-2}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Zatitu \frac{7}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{7}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{7}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Egin \frac{7}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{49}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Atera x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Egin ken \frac{7}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$