Resolver 6x^2+17x+10=0

$$6 x ^ { 2 } + 17 x + 10 = 0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x=-2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6x^{2}+ax+bx+10 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=17 ab=6\times 10=60$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b positiboa denez, a eta b positiboak dira. Zerrendatu 60 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

17 batura duen parea da soluzioa.

$$a=5 b=12$$

Berridatzi 6x^{2}+17x+10 honela: \left(6x^{2}+5x\right)+\left(12x+10\right).

$$\left(6x^{2}+5x\right)+\left(12x+10\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$x\left(6x+5\right)+2\left(6x+5\right)$$

Deskonposatu 6x+5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(6x+5\right)\left(x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 6x+5=0 eta x+2=0.

$$x=-\frac{5}{6} x=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}+17x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, 17 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Egin 17 ber bi.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-24\times 10}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-240}}{2\times 6}$$

Gehitu 289 eta -240.

$$x=\frac{-17±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-17±7}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{-17±7}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-17±7}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -17 eta 7.

$$x=-\frac{10}{12}$$

Murriztu \frac{-10}{12} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-17±7}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken -17.

$$x=-\frac{24}{12}$$

Zatitu -24 balioa 12 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-\frac{5}{6} x=-2$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6x^{2}+17x+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x^{2}+17x+10-10=-10$$

10 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$6x^{2}+17x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}+17x}{6}=-\frac{10}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x=-\frac{10}{6}$$

Murriztu \frac{-10}{6} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x=-\frac{5}{3}$$

Zatitu \frac{17}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{17}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{17}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\left(\frac{17}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{17}{12}\right)^{2}$$

Egin \frac{17}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}=-\frac{5}{3}+\frac{289}{144}$$

Gehitu -\frac{5}{3} eta \frac{289}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}=\frac{49}{144}$$

Atera x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{17}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{17}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{17}{12}=-\frac{7}{12}$$

Egin ken \frac{17}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{5}{6} x=-2$$