Resolver 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 6x^{2}+ax+bx-1 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -6 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-6 2,-3$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

-5 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-6 b=1$$

Berridatzi 6x^{2}-5x-1 honela: \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Deskonposatu 6x 6x^{2}-6x taldean.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Deskonposatu x-1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-1=0 eta 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 6 balioa a balioarekin, -5 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Egin -5 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Egin -4 bider 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Egin -24 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Gehitu 25 eta 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Atera 49 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

-5 zenbakiaren aurkakoa 5 da.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Egin 2 bider 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±7}{12} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 5 eta 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Zatitu 12 balioa 12 balioarekin.

$$x=1$$

Orain, ebatzi x=\frac{5±7}{12} ekuazioa ± minus denean. Egin 7 ken 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Murriztu \frac{-2}{12} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Egin -1 ken 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

6 balioarekin zatituz gero, 6 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Zatitu -\frac{5}{6} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{5}{12} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{5}{12} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Egin -\frac{5}{12} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Gehitu \frac{1}{6} eta \frac{25}{144} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Atera x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Gehitu \frac{5}{12} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$